برهان خلف

روش اثبات به کمک برهان خلف یکی از متدهای جذاب و موفق در اثبات علوم ریاضی به‌شمار می‌آید و دامنه گسترده ای از مسائل را در حوزه‌های متنوع جبر، مثلثات، هندسه و نظریه عددها در بر می‌گیرد. در این متد اثبات، فرض بر این است که حکم به اثبات نرسیده است و با انجام یک سلسله مراحل و عملیات ریاضی، استدلال را تا جایی ادامه می‌دهیم که برخلاف فرض یا تناقضی برسیم.

برهان خُلف که ریاضی دان مشهور اقلیدس به آن علاقه زیادی دارد، یکی از سلاح‌های ریاضی‌دانان می باشد. این روش بسیار زیباتر از طعمه‌فکنی در بازی شطرنج است. در بازی شطرنج ممکن است مهره سرباز یا حتی غیرسرباز را برای قربانی شدن پیش‌کش کند، اما ریاضی‌دان کل بازی را تقدیم می‌کند.

برهان خلف حرکتی است ظریفتر از هر حرکت شطرنج.  شطرنج باز ممکن است یک پیاده یا حتی یک سوار را فدای بازی کند ولی ریاضیدان  تمام بازی را قربانی می کند.

شاید بخواهید بدانید: دپارتمان ریاضی موسسه راهبرد

استدلال برهان خلف

فرض بر این است که P گزارهٔ فرض ما و Q گزاره حکم ما است. به‌ صورتی که بخواهیم Q را از P نتیجه بگیریم؛ یعنی:

حال اگر بخواهیم از برهان خلف استفاده کنیم ابتدا نقیض حکم را می‌سازیم و به عنون فرض جدید در نظر می‌گیریم و سعی می‌کنیم تا به فرض قدیم برسیم:

حال اگر Q درست بوده باشد، پس نقیض آن یعنی (که همان ‘P می‌باشد) غلط است و عبارت  دارای تناقض است، اگر چنین باشد در این صورت یا P یا ‘P باید غلط باشد. از آنجا که P فرض اصلی ما بوده است، پس نمی‌تواند غلط باشد، پس ‘P غلط بوده است، پس نقیض ‘P درست است. از آنجا که ‘P برابر با نقیض Q بود، پس نقیض ‘P برابر با نقیض نقیض Q است. همان‌طور که می‌دانید، نقیضِ نقیضِ هر گزاره برابر با خود گزاره است، پس گزارهٔ Q درست است و حکم ثابت می‌شود.

شاید بخواهید بدانید: آموزش درس مبانی (علوم) ریاضی

جهت دریافت محصولات ریاضی موسسه راهبرد می توانید از طریق لینک زیر اقدام نمایید

آموزش درس ریاضی