آموزش درس آنالیز ریاضی

مدرس:دکتر علی اصغر فرخی

آقای فرخی فارغ ‌التحصیل مقطع دکتری ریاضی محض گرایش جبر جابجایی کوهمولوژی هستند. دکتر فرخی دارای دو مدرک کارشناسی ارشد در گرایش جبر و همچنین ریاضیات مالی هستند. و در مقاطع مختلف همواره جزو رتبه های برتر و دانشجوی برگزیده بوده اند. آقای دکتر فرخی علاوه بر تدریس در دانشگاه به عنوان معلم رسمی هم افتخار خدمت به دانش‌ آموزان این مرز و بوم رو دارند. زمینه اصلی فعالیت دکتر فرخی گرایش جبر بوده که  چندین مقاله در ژورنالهای بین المللی از ایشون به چاپ رسیده و هم اکنون در زمینه ریاضیات مالی مشغول تحقیق و پژوهش هستند.

_______________________________

 مقدمه مدرس

درس آنالیز یکی از دروس پایه ای رشته ریاضی برای درک مفاهیم پیشرفته تر است و در حقیقت این درس به بررسی دقیق تر وآنالیز مفاهیم آموخته شده در دروس ریاضی عمومی یک و دو مانند حد، مشتق ، انتگرال و همچنین تعمیم آن ها می پردازد. فراگیری عمیق این درس برای همه کسانی که قصد ادامه تحصیل در مقاطع عالی رشته های ریاضی اعم از رشته های آنالیز، جبر، هندسه و سایر رشته ها را دارند اکیداً توصیه می شود.

چارچوب تدریس

درس  با تعریف مفهوم پر اهمیت متر آغاز شده و فضاهای متریک معرفی می شوند. این تعریف تعمیم یافتة مترِ معمولیِ اقلیدسی می باشد که دانشجویان با این متر در دنیای واقعی و در دروس دبیرستان کاملا آشنا هستند. مطابق روند رایج در ریاضی برای تعمیم مفاهیم قبلی، ویژگی های برجسته و مفید متر اقلیدسی دستچین شده اند و زمینه ساز تعریف متر در حالت کلی شده اند.  با شناخت متر بر روی یک فضا، دیگر تعاریف اساسی و مهم  بر اساس متر تعریف می شوند. مفاهیمی از قبیل زیرمجموعه های باز، بسته، فشرده، همبند، همگرایی، کامل بودن، بی نقص بودن و بسیاری مفاهیم دیگر.

مترها خروجی های متفاوتی از مجموعه های باز که اساس یک فضای متریک هستند را ارائه می دهند. بعنوان مثال مترِ اقلیدسی در فضای حقیقی بازه های باز را بعنوان زیرمجموعه های باز معرفی می کند و در فضای اقلیدسی دو بعدی این زیر مجموعه های باز دایره ها هستند. این در حالی است که مترهای دیگری موجودند که مربع ها رو به عنوان زیر مجموعه های باز معرفی می کنند! و این کاملاً با درکی که ما قبلا از مجموعه های باز داشتیم تفاوت دارد.  نوع دیگری از متر که به متر گسسته موسوم است تک نقطه ای ها رو به عنوان زیر مجموعه های باز معرفی می کند و از این رو همه زیر مجموعه های فضا باز هستند.

از آنچه گذشت می توان به اهمیت شناخت متر ها  پی برد. زیرا ویژگی های اساسی را مترها تعیین می کنند؛ بعنوان مثال ممکن است در یک مجموعه با یک متر، یک زیر مجموعه باز باشد اما در همان مجموعه با متری دیگر زیرمجموعه مد نظر باز نباشد.

در فصل اول مجموعه ویدیوها کاملاً به این موضوعات با شرح و تفصیل خاصی پرداخته شده است و فضاهای متریک و مترهای مختلف معرفی شده اند. سپس مجموعه های باز و بسته و خواص آنها معرفی شده است. با مثال های مختلف، معانی به بهترین شکل ممکن به دانشپذیران انتقال داده شده است. پس از این مفاهیم سایر تعاریف مهم مثل نقاط حدی، نقاط تنها، پوشش باز، مجموعه های فشرده، مجموعه های همبند، مجموعه های کامل (هر دنباله کشی در آن فضا همگرا باشد)، مجموعه های بی نقص و سایر تعاریف مهم که از طرفی برای آزمون های مقاطع ارشد، استخدامی، دکترا مورد سوال قرار می گیرد و از طرف دیگر بنیان و اساس درس آنالیز هستند به شکلی کاملاً مفهمومی و با ارائه تست برای دانشپذیران تشریح می شوند.

بعد از فصل اول که اساسی ترین فصل درس آنالیز است (با فرا گرفتن دقیق و مفهومی این فصل یادگیری سایر فصول آنالیز تضمین می شود) به فصل دنباله ها و سری ها پرداخته می شود. ابتدا مفهوم همگرایی در فضاهای متریک معرفی و بررسی می شود که این تعریف با تعاریف آموخته شدة پیشین در دروس دبیرستان زمانی که فضا را با متر اقلیدسی مجهز می کنیم مطابقت دارد. به دیگر بیان این تعریف تعمیم از مفهوم همگرایی در فضا های اقلیدسی است. مفاهیم مهم دیگر از جمله کرانداری، کشی بودن، زیردنباله، لیم سوپ، لیم اینف و سایر مفاهیم برجستة وابسته به دنباله ها معرفی می شوند و ظرافت هایی که باید به آنها توجه کنیم مورد توجه قرار می گیرد و تست هایی در همین رابطه حل و تشریح می شود.

در ادامه سری ها به عنوان نوعی خاص از دنباله ها معرفی می شوند و محک های لازم برای بررسی همگرایی از قبیل آزمون مقایسه، آزمون مقایسه حدی، آزمون کشی، آزمون آبل، آزمون دیریکله و غیره تشریح می شوند. در ادامه سری های توانی معرفی می شوند و روش های یافتن به شعاع همگرایی توضیح داده می شوند. در انتهای فصل تست هایی در نظر گرفته شده است که اغلب از آزمون های کارشناسی ارشد، دکتری وآزمون های استخدامی آموزش پرورش هستند و روش های حل این تست ها با نکات و قضایای موجود کاملا تشریح می شوند و می بینیم که برای حل این تست ها نیازی به اطلاعات خارج از ویدیوها نیست و همگی با نکات و قضایای گفته شده براحتی قابل حل هستند.

در فصل سوم درس آنالیز مفهوم اساسی دیگری موسوم به حد در فضای مجهز به متر بیان می شود. همانطور که مورد انتطار بود این مفهوم تعمیم مفهوم حد در فضای اعداد حقیقی با متر اقلیدسی است. این مفهموم به کمک مفهوم دنباله ها معرفی می شود و در واقع شرایطی معادل برای داشتن حد بر اساس مفهوم دنباله ها معرفی می شود.

بعد از ارائه مثال های متنوع در زمینه مفهوم حد و بررسی در فضاهای مختلف نوبت به دیگر مفهوم مهم یعنی پیوستگی می رسد. در حقیقت توابع پیوسته مورفسیم های فضای متریک هستند و همان نقشی را که همریختی ها در گروه ها به عهده دارند را ایفا می کنند. مانند سایر مفاهیم این مفهوم در فضاهای مختلف بررسی می شود و تست هایی در این زمینه حل و بررسی می شود. واژة یکنواخت کلمه ای دیرآشنا برای کسانی هست که در مقاطع عالی تحصیل کرده اند و حتما  مفاهیمی مثل همگرایی یکنواخت، پیوستگی یکنواخت، کرانداری یکنواخت و غیره به گوششان خورده است. در ادامه فصل مفهوم پیوستگی یکنواخت معرفی می شود و در مورد تفاوت آن با مفهوم پیوستگی توضیحاتی ارائه می شود. در واقع خواهیم دید که  توابع پیوسته دنباله های همگرا را از فضای دامنه به دنباله های همگرا در فضای هم دامنه منتقل می کنند اما در تبدیل دنباله های کشی در فضای دامنه به دنباله های کشی در فضای هم دامنه عاجزند. اما توابع پیوسته یکنواخت چنین نیستند. در ادامه محک های بسیار مفیدی برای تشخیص پیوستگی یکنواخت معرفی می شوند و به کمک این محک ها دسته بسیار وسیعی از توابع پیوسته یکنواخت شناخته می شوند. در انتهای فصل پیوستگی توابع یکنوا هم به طور کامل مورد آنالیز قرار می گیرد.

در فصل آخر یا همان فصل چهارم درس آنالیز دیگر مفهوم مهم که دانشپذیران از قبل با آن آشنایی کامل دارند و از اهمیت و کاربردهای آن مطلع هستند، مورد آنالیز دقیق تری قرار می گیرد: مشتق گیری از توابع حقیقی. قضایای مهم این فصل از قبیل قضایای رل، قضیه مقدار میانگین، قضیه داربو و سایر قضایا با وسواس خاصی مورد بررسی قرار می گیرند و در انتهای فصل تست های زیادی در این زمینه حل و تشریح می شود.

پیام موسسه

در مجموعه ویدیوهای ارائه شده در موسسه راهبرد برای درس آنالیز ریاضی، مدرس کوشیده است تا مفاهیم را به طور عمیق و درخور اهمیت والای این درس انتقال بدهد به گونه ای که انگیزة تعاریف کاملا مشخص شود و با ارائه تعاریف آشنای قبلی تعاریف جدید  برای دانشجویان قابل هضم باشند.

موسسه راهبرد به دانشپذیر این اطمینان را می دهد که مفاهیم آنالیز ریاضی به طور کامل گفته شده و بدون نیاز به هیچ منبع دیگری می تواند این درس را در بالاترین کیفیت ممکن فرا گیرد.