آموزش درس معادلات دیفرانسیل

مدرس:دکتر سمیه ملاحسنی

خانم دکتر ملاحسنی مدرس در حال اتمام دکتری ریاضی (سال آخر) در گرایش آنالیز عددی هستند و دانشجوی نمونه این گرایش هستند. استعداد خوب ایشون در تدریس پشتوانه بیش از یک دهه تدریس دروس مختلف گرایش محض و کاربردی رشته ریاضی در دانشگاههای مختلف بوده است. همچنین خانم دکتر ملاحسنی باتوجه به داشتن مدارک مختلف زبان انگلیسی یکی از مدرسین موفق این زبان هم هستند. ایشون عضو انجمن ریاضی ایران و خانه ریاضیات کرمان هستند و علاوه بر زیرشاخه های جدید ریاضی و پژوهشهای بین رشته ای به تدریس و یادگیری زبانهای مختلف هم علاقه مند هستند.

آموزش درس معادلات دیفرانسیل یکی از آموزش هایی می باشد که خانم دکتر سمیه ملاحسنی ارائه دادند.

______________________________

مقدمه مدرس

گاهی در رشته های مختلف علوم، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و غیره ضرورت پیدا می کند، که برای بیان مسألة معینی مدل ریاضی ساخته شود. اغلب این مدل های ریاضی معادلاتی هستند که شامل یک تابع مجهول و مشتقات آن تابع می باشند، چنین معادلاتی را معادلات دیفرانسیل می نامند.

در این مجموعه فیلم ها سعی شده است تا از آن چه به عنوان معادلات دیفرانسیل باید بیاموزید چشم اندازی ارائه کنیم، همچنین در ابتدای هر جلسه طبقه بندی منظمی از معادلات را به گونه ای بیان می کنیم تا ساختار مشخص و دید لازم برای ادامة درس تأمین شود.

چارچوب تدریس

در بخش نخست مفاهیم اساسی معادلات دیفرانسیل شامل تعاریف و جوابهای عمومی و خصوصی معادلات را معرفی می کنیم، سپس به بررسی معادلات دیفرانسیل مرتبة اول می پردازیم. از آنجا که برای یک تابع دلخواه روش کلی برای حل معادله برحسب توابع مقدماتی وجود ندارد، راه های مختلف طبقه بندی معادلات دیفرانسیل مرتبة اول را ذکر می کنیم که مهمترین این معادلات عبارتند از:

معادلات مرتبه اول خطی، معادلات برنولی، معادلات جدایی پذیر، معادلات کامل، معادلات همگن و شبه همگن که روش حل مربوط به هر معادله ذکر شده و برای هر کدام از این نوع معادلات یک جواب عمومی شامل یک ثابت دلخواه، وجود دارد که همة جوابهای معادله دیفرانسیل را دربر می گیرد. با انتخاب مقدار مناسب برای این ثابت دلخواه، می توان یک جواب خصوصی انتخاب کرد که در شرایط اولیة مفروضی صدق کند، سپس این بخش را با تعریف عاملهای انتگرالساز که عامل هایی برای تبدیل معادلات غیرکامل به معادلات کامل هستند ادامه می دهیم. همچنین اشاره کرده ایم که اگر معادلة مرتبه اولی به دسته بندی فوق تعلق نداشته باشد، گاهی می توان با یک تغییر متغیر مناسب آن را به یکی از معادلات مذکور تبدیل نمود. در ادامة این فصل به برخی کاربردهای مهم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ( پوش یک دسته منحنی در مختصات دکارتی و قطبی) و برخی مسائل نظری مربوط به وجود و یکتایی جوابها پرداخته شده است.

در بخش بعدی معادلات مرتبة دوم  و در حالت کلی مرتبة n ام را بیان می کنیم، ابتدا به نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم می پردازیم که با تغییر متغیرهای مناسب قابل تبدیل به معادلات مرتبه اول می باشند، سپس با دسته بندی معادلات خطی همگن و غیر همگن و همچنین با بیان تعاریف اساسی رونسکین و مستقل خطی بودن توابع و ارائه روشهای حل معادلات خطی همگن با ضرایب ثابت و در چند حالت خاص با ضرایب متغیر این فصل را به پایان رسانده ایم.

در فصل بعد با بیان سه روش مهم و اساسی تغییر پارامترها، عملگرها و روش ضرایب نامعین جوابهای خصوصی معادلات دیفرانسیل غیرهمگن را به دست می آوریم و اشاره کرده ایم که روش عملگرها یا اپراتور معکوس ساده ترین راه برای به دست آوردن جواب خصوصی معادله دیفرانسیل غیر همگن می باشد.

در بخش بعد برای معادلات دیفرانسیل با ضرایب متغیر و با مرتبة بالاتر از یک، موثرترین روش یعنی استفاده از سری های توانی را بیان کرده ایم، در ابتدا با تعاریف مقدماتی سری توانی، شعاع همگرایی، نقاط عادی و غیرعادی، طرز استفاده از سری های توانی را برای ساختن مجموعه های اساسی از جواب های معادلات دیفرانسیل خطی که ضرایب آنها توابعی از متغیر مستقل هستند مورد بحث قرار می دهیم. در ادامة مبحث سری های توانی به معرفی توابع خاص (بسل، لژاندر، گاما) و خواص این توابع می پردازیم.

در بخش بعد یکی از مهمترین مباحث معادلات دیفرانسیل را بیان می کنیم که در بسیاری از شاخه های کاربردی از اهمیت ویژه ای برخوردار است و تبدیلات لاپلاس نام دارد. با استفاده از این تبدیلات یک مساله ی مقدار اولیه به یک معادلة جبری یا یک دستگاه از معادلات جبری تبدیل می شود که با حل این معادلات و استفاده از جدول تبدیلات لاپلاس می توان به جواب مسألة مقدار اولیه دست یافت، در این بخش ما چگونگی کار با این تبدیلات مهم را به همراه دسته بندی منظمی از قضایای تبدیلات لاپلاس شرح می دهیم.

در آخرین فصل از این درس توجه خود را به دستگاه های معادلات خطی معطوف و با استفاده از برخی جنبه های مقدماتی جبر خطی از جمله مقادیر ویژه، بردارهای ویژه، چند جمله ای های مشخصه، آنها را به صورت مشخصی نشان می دهیم.

پیام موسسه

بدلیل اهمیت ویژة درس معادلات دیفرانسیل که به آن اشاراتی شد، ارائه این درس برای موسسه راهبرد مورد اهمیت خاصی قرار دارد. به همین جهت این درس به بهترین شکل ممکن در قالب ویدیو های آموزشی با کیفیت در اختیار دانشجویان قرار داده شده است.

در هر فصل این مجموعه، مثال های متنوع  و همچنین تست های کلیدی و پرکاربرد به همراه حل تشریحی ارائه شده است. ضمناً در جلسات 9 و 15 و 19 سه ایستگاه تست طراحی شده که هر ایستگاه مربوط به جلسات تدریس شدة قبلی است. در این سه ایستگاه تست های مربوط به تمامی مباحث تدریس شده پوشش داده شده اند.

موسسة راهبرد به دانشپذیر این اطمینان را می دهد که مفاهیم معادلات دیفرانسیل

بصورتی درخور و متناسب با اهمیت این درس ارائه شده و دانشپذیران عزیز با مشاهده دقیق این مجموعه ویدئوها می توانند این درس را در بالاترین کیفیت ممکن فرا گیرند.