آموزش درس ریاضی 1

مدرس:دکتر علی اصغر فرخی

آقای فرخی فارغ ‌التحصیل مقطع دکتری ریاضی محض گرایش جبر جابجایی کوهمولوژی هستند. ایشون دارای دو مدرک کارشناسی ارشد در گرایش جبر و همچنین ریاضیات مالی هستند و در مقاطع مختلف همواره جزو رتبه های برتر و دانشجوی برگزیده بوده اند. آقای دکتر فرخی علاوه بر تدریس در دانشگاه به عنوان معلم رسمی هم افتخار خدمت به دانش‌ آموزان این مرز و بوم رو دارند. زمینه اصلی فعالیت دکتر فرخی گرایش جبر بوده که  چندین مقاله در ژورنالهای بین المللی از ایشون به چاپ رسیده و هم اکنون در زمینه ریاضیات مالی مشغول تحقیق و پژوهش هستند. ایشون در کنار زیباییهای ریاضیات در زمینه شعر و ادبیات هم دستی بر آتش دارند و عرفان مولوی جزو علاقه مندی های آقای دکتر فرخی هست.

مقدمه مدرس

درس ریاضی عمومی شاید مصداق شعار اصلی سال جهانی ریاضیات (سال دوهزار) است، شعاری با این مضمون ریاضیات برای همه، ریاضیات راه توسعه. از این رو این قسمت  از ریاضی اهمیتی دو چندان پیدا می کند و زبانی است مشترک بین همه رشته هاست. با این دیدگاه ترجیج مدرس بر این بوده که درس را از مطالب مقدماتی شروع کرده و آن را تا بالاترین سطح ممکن پیش برده و از این روی حق مطلب را ادا کند.

چارچوب تدریس

درس ریاضیات عمومی با معرفی تابع آغاز شده است و شکل های مختلف نمایش توابع یک به یک بررسی شده و انطباق آن ها را به عنوان شکل های متفاوت از یک معنا نشان داده شده است. بعد از معرفی تابع طبیعی ترین سوال این است که ورودی های تابع یعنی دامنه تابع را چطور بدست آوریم. این قسمت برای توابع مختلف اعم از گویا، رادیکالی، لگاریتمی و ... توضیح و تشریح شده است و چرایی آن ها هم بررسی شده است به گونه ای که نیازی به حفظ نباشد.

توابع پرکابردی همچون توابع جزء صحیح، توابع قدرمطلقی، توابع مثلثاتی، توابع معکوس مثلثاتی، توابع هایپربولیک، معکوس توابع هایپربولیک و غیره به همراه نکات و روابط بین آنها به طور کامل و یک به یک بررسی شده اند. توابع متناوب تعریف شده اند و با ظرافت روش های بدست آوردن دوره تناوب گفته شده است. مفاهیم توابع  زوج و فرد تعریف شده است و تفسیر نموداری آنها به شکل مفهومی به سمع و نظر دانشپذیران گرامی رسیده است. از دیگر مفاهیم مورد پرسش در مبحث توابع، برد تابع است. به روش های پیدا کردن برد توابع هم با وسواس خاصی پرداخته شده و با مثالها و تستهای مرتبط دانشجویان را به آمادگی مطبوع رسانده ایم.

پس از مفاهیم مقدماتی مربوط به تابع اینک نوبت به یکی از مهم ترین و اساسی ترین قسمت های درس یعنی حد می رسیم. از اهمیت این مفهوم هر چه بگوییم کم خواهد بود زیرا تحولی شگرف در ریاضی با معرفی این مفهوم رخ داد و اساس مفاهیم کاربردی و تاثیرگذاری نظیر مشتق و انتگرال بر این مفهوم بنا شد. شاید  در این سطح دیگر نیازی به توضیح اهمیت مفاهیم وابسته به حد در علم بشری نیست و همگان واقف به این حجم عظیم از تاثیرگذاری هستند.

با توجه به آنچه از مقدمه بالا گذشت حد تعریف و مفهوم آن با توضیحی در خور شأن آن ارائه شده است. مفهوم حد چپ و حد راست و شرط وجود حد ارائه شده،  سپس قضایای مربوط به آن گفته شده و مثال های در قالب تست فرایند آموزش را تکمیل کرده است. صورت های مبهم که مبحثی جدی و سوال خیز در آزمون های مختلف هستند یک به یک بر شمرده شده و در هر مورد تست های زیادی حل و تشریح شده است. روش هایی از قبیل  قاعده هوپیتال و هم ارزی و غیره. هر کدام از روش های قبل به همراه شرایط استفاده از آنها به شکل مبسوط و در کنار تست بررسی شده اند.

بعد از مفهوم حد و شرایط وجود آن و تکنیک های یافتن آن نوبت به مفهوم پیوستگی توابع می رسد. این موضوع با تمام مفاهیم وابسته به آن نظیر پیوستگی در یک بازه (فاصله)، انواع ناپیوستگی، قضیه مقدار میانی و غیره مورد بررسی قرار گرفته و بعد از هر مبحث تعدادی تست مرتبط تحلیل گشته است.

از دیگر عناوین مهم در این قسمت مفاهیم وابسته به مجانب است. مجانب و انواع آن یعنی مجانب قائم، مجانب افقی و مجانب مایل به نوبت و با وسواس تعریف و روش های یافتن آنها در هر مورد گفته شده و مطابق معمول آموزش با حل تست های در این زمینه تکمیل شده است

اکنون نوبت به مفهومی رسیده است که همه جا هست و در هر رشته دانشگاهی که باشد بسیار بعید است که ردی از آن پیدا نشود. مفهوم مشتق که یک نوع حد است و تفسیر آن شیب خط مماس بر منحنی است با بیانی شیوا و برازنده مشتق معرفی شده و و مفاهیم مرتبط یعنی  مشتق چپ و مشتق راست برای توابع تعریف شده است.

روابط پیوستگی و مشتق پذیری بیان شده سپس قواعد و قانون های مشتق گیری که تقریباً ما را از استفاده از تعریف برای یافتن مشتق بی نیاز می کند برای توابع مهم و کاربردی گفته شده است. روش مشتق گیری ضمنی، قواعد زنجیره ای مشتق، مشتق گیری از توابعی که قدرمطلق دارند، مشتق گیری از توابع پارامتری، مشتق مرتبه چندم، مشتق گیری از توابع جزء صحیح، مشتق تابع معکوس، مشتق از توابع به شکل نمایی که هم پایه و هم نما هر دو تابع هستند (هر دو دارای متغییر مستقل هستند) و غیره همگی با حوصله و ارائه مثال های جدی و جذاب تشریح شده اند.

اکنون که در یافتن مشتق توابع به توانایی در شأن این مفهوم رسیده ایم نوبت به کاربردهای مشتق می رسد کاربرد های که بر آنچه در مورد اهمیت مشتق گفته شد صحه می گذارد و مهر تاییدی است بر عمق تاثیرگذاری مشتق. کاربردهایی نظیر یافتن معادله خط مماس وخط قائم بر منحنی، یافتن زاویه بین دو منحنی، نقاط اکسترمم (نقاط ماکسیمم و نقاط مینیمم) تابع و غیره در معیت مثال های متنوع آموزش داده می شود. صعودی بودن و نزولی بودن یک تابع را می توان به کمک مشتق مشخص کرد و چگونگی اینکار توضیح داده شده است. روش تعیین نقاط بحرانی، نقاط عطف، نقاط بازگشتی و سایر نقاط مهم گفته و مثال های در همین زمینه در قالب تست حل شده است.

قضایای مهم نظیر قضیه رل و قضیه مقدار میانگین با تعبیر هندسی آنها به شکل مبسوط تشریح شده اند.

دیگر مفهوم اساسی یعنی دیفرانسیل تعریف می شود و کابردهای آن در کنار تست های دستچین شده مطرح می شود.

در ادامه درس ریاضی عمومی یک، یکی دیگر از مفاهیم اساسی و مطرح این درس یعنی انتگرال معرفی می شود. این قسمت و مفاهیم وابسته به آن همواره در آزمون های ارشد و استخدامی مورد سوال قرار می گیرد. پس از تعریف تابع اولیه  و سپس انتگرال نامعین فرمول های مهم انتگرال گیری ارائه می شوند. با کمک این فرمول ها می توان انتگرال های ساده را حل کرد و ابزاری مفید برای حل انتگرال های پیچیده تر هستند. در حقیقت انتگرال های دیگر با کمک روش های مختلف به این انتگرال های ساده تر تبدیل می شوند و سپس از این فرمول های برای رسیدن به جواب استفاده می کنیم. مثال های زیادی در این قسمت بررسی می شود و آموخته می شود  که چگونه با تکنیک های ساده و یا روابط بین  توابع بدون ابزار دیگری فقط به کمک  این فرمول های انتگرال گیری می توان دسته وسیعی از انتگرال ها را محاسبه کرد. سپس به یکی از قدرتمند ترین روش های انتگرال گیری موسوم به روش انتگرال گیری تغییر متغییر پرداخته می شود و تعداد بسیار زیادی انتگرال با این روش حل می شود. بعد از تکنیک تغییر متغییر در ادامه روش قوی دیگری که ما را در محاسبه دسته بزرگی از انتگرال ها توانمند می کند معرفی می شود. مثال های زیادی تشریح می شود و دید خوبی در استفاده از این روش بی نظیر برای  حل انتگرال ها به دانش پذیران عزیز داده می شود.  در ادامه روش های انتگرال گیری از توابع گنگ، توابع گویا و تجریه کسرها، روش کاهش توان، دوجمله ای دیفرانسیلی، توابع مثلثاتی با تمام حالات آن از جمله حالاتی که براساس توان های فرد یا زوج سینوس و کسینوس دسته بندی می شوند و یا حالت توابع گویا برحسب سینوس و کسینوس و غیره همگی بررسی می شوند به طوری که دیگر سخت بشود انتگرالی پیدا کرد که نتوان آن را حل کرد. در تمامی این قسمت از ویدیو های آموزشی سعی می شود که همه انتگرال ها دسته بندی شوند و نظم ذهنی خوبی به مطالب داده شود که دانشجو با دیدن انتگرال به سرعت دسته ای که انتگرال مربوط به آن است را مشخص کند و سپس راه حل مناسب اتخاذ شود. بعد از این مرحله نوبت به تعریف انتگرال معین می رسد. این مفهوم با تعبیر هندسی آن که مساحت زیر سطح است با دقت و شفافیت هر چه تمام تر تدریس می شود. انتگرال های معین مربوط به توابعی مانند توابع جزء صحیح و توابع قدر مطلق بطور خاص بیان و با ارائه مثال نکات آنها گفته می شود. نکات و قضایای مربوط به توابع زوج و فرد در حالتیکه دامنه انتگرال گیری متقارن باشد بر شمرده می شود. یک فرمول بسیار قوی برای حل انتگرال های معین موسوم به کینگ پروپرتی معرفی می شود و نکات بسیار مفیدی از این نکته نتیجه گیری می شود. قواعد مشتق گیری از تابع انتگرال گیری معرفی و مثال های قدرتمندی حل می شود.

در ادامه کاربردهای انتگرال معین معرفی می شوند و آموزش هر کدام در قالب تست تکمیل می شود. کاربردهای نظیر محاسبه برخی از حدود با استفاده از انتگرال معین، محاسبه مساحت محصور، حجم حاصل از دوران تابع حول محور افقی ویا عمودی، محاسبه طول قوس یک منحنی.

پیام موسسه

موسسه راهبرد افتخار این را دارد که این درس را به بهترین شکل ممکن در قالب ویدیو های آموزشی با کیفیت در اختیار دانشجویان قرار دهد. و مدرس این درس تمام توان خود را برای انتقال واضح و شفاف مطالب درس بکار گرفته است و کوشیده آموخته های خویش را تمام و کمال در اختیار دانشپذیران قرار دهد.