آموزش درس آمار و احتمال

مدرس:دکتر علی اصغر فرخی

آقای فرخی فارغ ‌التحصیل مقطع دکتری ریاضی محض گرایش جبر جابجایی کوهمولوژی هستند. ایشون دارای دو مدرک کارشناسی ارشد در گرایش جبر و همچنین ریاضیات مالی هستند و در مقاطع مختلف همواره جزو رتبه های برتر و دانشجوی برگزیده بوده اند. آقای دکتر فرخی علاوه بر تدریس در دانشگاه به عنوان معلم رسمی هم افتخار خدمت به دانش‌ آموزان این مرز و بوم رو دارند. زمینه اصلی فعالیت دکتر فرخی گرایش جبر بوده که  چندین مقاله در ژورنالهای بین المللی از ایشون به چاپ رسیده و هم اکنون در زمینه ریاضیات مالی مشغول تحقیق و پژوهش هستند. ایشون در کنار زیباییهای ریاضیات در زمینه شعر و ادبیات هم دستی بر آتش دارند و عرفان مولوی جزو علاقه مندی های آقای دکتر فرخی هست.

______________________________

مقدمه مدرس

درس آمار و احتمال اخیراً به واسطه کاربردهای فروان در سایر علوم مورد توجه بسیاری قرار گرفته است و هر پدیده ای که آینده آن قطعی نباشد را می توان با ابزارهای آماری و احتمالاتی مورد پیش بینی قرار داد و سناریوهای محتمل تر را مشخص کرد. از این رو درس آمار و احتمال جای خود را در بین دروس دانشگاهی و در بسیاری از رشته های فنی مهندسی و علوم انسانی و علوم پایه باز کرده است و در آزمون های مختلف مد نظر قرار می گیرد.

چارچوب تدریس

درس آمار و احتمال با اصول اولیه شمارش شروع شده و در آن اصل ضرب و اصل جمع که ابزارهای توانمندی برای شمارش هستند با ارائه مثال ها و تست های متنوعی آموزش داده شده است. در حین آموزش فرمول های مفیدی مثل جایگشت و ترکیب که از همان اصول اولیه نتیجه می شوند را معرفی می کنیم و با مثال های متنوع کاربرد آن ها را نشان می دهیم. در ادامه ابزارهای نیرومندی برای شمارش نظیر اصل شمول و عدم شمول ، جایگشت های با تکرار، تعداد جواب های صحیح مثبت یک معادله خطی و جایگشت های دایره ای (میز گرد) را معرفی می کنیم و کاربردهای آنها در عمل مشخص می شوند. به جرأت می توان گفت ویدیوهای اولیه آموزشِ درس، کاملترین مجموعه برای آموزش شمارش می باشد که دانشجو با فراگرفتن این محتوا مشکلی برای شمارش نخواهد داشت؛ چون نقش بسزایی برای محاسبه احتمال در فضاهای گسسته دارد.

پس از آموزش اصول شمارش به محاسبه احتمال در فضاهای گسسته می پردازیم. اصول احتمال و روابط آنها گفته می شود و سپس آموزش در قالب ارایه تست های مختف تکمیل می شود. احتمال شرطی معرفی می شود و تست های مرتبط با این مطلب حل و تشریح می شوند. در ادامه مفاهیم مهمی مثل استقلال تعریف می شوند و روابط و نکات مربوط به آن گفته می شود. یکی دیگر از قوانین بسیار مفید برای محاسبه احتمال افراز فضای نمونه است و در این شرایط قانون احتمال کل معرفی می شود که دانشجو را قادر می سازد دسته وسیعی از سوالات را حل نماید. پس از تسلط بر قانون احتمال کل نوبت به یکی دیگر از قانون های احتمال یعنی قانون بیز می رسد. این قانون در قالب بیانی ساده به دانشجویان ارائه می شود و به راحتی می توان دید که این قانون نه تنها گیج گننده نیست بلکه دست دانشجو را برای حل مسایل احتمالاتی جذاب باز می گذارد. پس از اتمام مطالب این فصل مباحث را با دو ایستگاه تست تکمیل می کنیم و دانشجو می تواند خود را بسنجد و همه آموخته های این فصل را همزمان محک بزند. لازم به ذکر است که کلیه مطالب درس آمار و احتمال در قالب تست آموزش داده می شوند؛ یعنی پس از معرفی و ارائه مفهومی مطالب، نکات در قالب تست بکار گرفته می شوند، بطوریکه در هر جلسه آموزش حداقل ده تست مرتبط حل می شود.

در قسمت بعدی نوبت به محاسبه احتمال در فضاهای پیوسته می رسد. فضاهایی که دیگر گسسته نیستند و عموماً با فضاهای از جنس طول، مساحت و حجم سروکار داریم. مثال های جذابی در این زمینه در قالب تست ارایه می شود بطوریکه دانشجو به تسلط کافی برسد.

در قسمت بعدی به معرفی مفهومی مهم در آمار و احتمال می پردازیم که دانشجویان بر خلاف قسمت های قبلی با آن آشنایی زیادی ندارند. این مفهوم چیزی نیست جز مفهوم متغییرهای تصادفی. این مفهوم با ارائه مثال های متنوع کاملاً توضیح داده شده است. این متغییرها در دو دسته گسسته و پیوسته قرار می گیرند. پس از معرفی متغییر تصادفی بسته به انواع آنها تابع احتمال و تابع چگالی احتمال تعریف می شود و به هر یک از انواع متغیر تصادفی تابع توزیع تجمعی نسبت داده می شود که این مبحث به شکلی کاملاً تفصیلی بیان شده است. بعد از گفتن مقدمات لازم نوبت به معرفی توزیع احتمالات توأم، هم برای حالت گسسته و هم برای حالت پیوسته می رسد. مفاهیم وابسته نظیر توزیع احتمال های حاشیه ای یا کناری مطرح و تشریح شده اند. توضیح مفصلی هم برای توزیع های شرطی در نظر گرفته شده است که باحل مثال های متعدد و متنوع این مطالب در ذهن دانشجویان تثبیت می شود. همانطور که در قسمت قبل استقلال دو پیشامد مطرح شد اینک استقلال دو متغییر تصادفی هم تعریف و تشریح می شود. با تعریف تابع توزیع تجمعی توأم برای حالت پیوسته و گسسته مطالب این قسمت تکمیل می شود.

در ابتدای قسمت بعدی مفهوم زیبا و پرکاربرد امید ریاضی تعریف می شود و تست ها و مثال های زیادی برای هر دو حالت گسسته و پیوسته حل می شود و  ویژگی های برجسته امید ریاضی بطور کامل مطرح می شود. بر اساس مفهوم امید، مفهوم اساسی دیگر، یعنی واریانس تعریف می شود و بعد از آن مفهوم کوواریانس که واریانس را به عنوان حالت خاصی از آن می توان در نظر گرفت معرفی می شود. مشابه واریانس ویژگی های مهم کوواریانس نیز بر شمرده می شود. ضریب همبستگی دیگر مفهوم پرکاربردی است که بر پایه کوواریانس و واریانس تعریف می شود.

در ادامه توزیع های مهم و پرکاربرد برای هر دو حالت گسسته و پیوسته یک به یک تعریف و تشریح می شوند و خواص آنها نظیر امید و واریانس و سایر خواص برشمرده می شوند.

توزیع های گسسته نظیر توزیع یکنواخت، توزیع دوجمله ای، توزیع چند جمله ای، توزیع هندسی، توزیع فوق هندسی، توزیع پواسون همگی یک یه یک مورد بحث و تشریح واقع می شوند.

توزیع های پیوسته مهم و پرکاربرد نظیر توزیع یکنواخت، توزیع نمایی، توزیع گاما و توزیع نرمال هر کدام با وسواس خاصی تدریس شده اند و ویژگی های آنها نظیر امید و واریانس و دیگر ویژگی های مهم برای هر کدام آنها گفته شده است. در حین آموزش مطالب فوق، بعد از معرفی هر مفهوم مثالی به شکل تست برای آن در نظر گرفته شده است.

پیام موسسه

بدلیل اهمیت ویژة درس آمار و احتمال که به طور مختصر در بالا به آن اشاراتی شد، ارائه این درس برای موسسه راهبرد مورد اهمیت خاصی قرار دارد. به همین دلیل ترجیح مدرس بر این بوده است که مقدمات لازم برای این درس مفصلاً گفته شود تا دانشجویان نیازمند مطالعه کتاب های مقدماتی نباشند.

ما به دانشپذیران خود این اطمینان را می دهیم که با مطالعه دقیق ویدیوهای آموزشی موسسه راهبرد درکی عمیق و مفهومی از درس آمار و احتمال بدست خواهند آورد.