آموزش درس جبر

مدرس:دکتر علی اصغر فرخی

آقای فرخی فارغ ‌التحصیل مقطع دکتری ریاضی محض گرایش جبر جابجایی کوهمولوژی هستند. ایشون دارای دو مدرک کارشناسی ارشد در گرایش جبر و همچنین ریاضیات مالی هستند و در مقاطع مختلف همواره جزو رتبه های برتر و دانشجوی برگزیده بوده اند. آقای دکتر فرخی علاوه بر تدریس در دانشگاه به عنوان معلم رسمی هم افتخار خدمت به دانش‌ آموزان این مرز و بوم رو دارند. زمینه اصلی فعالیت دکتر فرخی گرایش جبر بوده که  چندین مقاله در ژورنالهای بین المللی از ایشون به چاپ رسیده و هم اکنون در زمینه ریاضیات مالی مشغول تحقیق و پژوهش هستند. ایشون در کنار زیباییهای ریاضیات در زمینه شعر و ادبیات هم دستی بر آتش دارند و عرفان مولوی جزو علاقه مندی های آقای دکتر فرخی هست.

مقدمه مدرس

از جبر گریزی نیست و این شاخه از علم ریاضی در تمام رشته های دیگر ریاضی در مقاطع عالی نفوذ کرده است و از این رو فرا گفتن این درس حداقل در سطح مقدماتی لازم و ضروری است. کسانی که در مقاطع ارشد رشته های ریاضی تحصیل کرده اند می دانند که درس جبر پیشرفته برای همه رشته های ریاضیات محض درسی الزامی است و همه باید این درس را بگذرانند. بدیهی است که بدون شناخت دقیق و درست از مفاهیم درس جبر که در مقطع کارشناسی ارائه می شود نمی توان درک درستی از جبر پیشرفته داشت. بنابرین در اهمیت و موضوعیت این درس هیچ جای تردیدی وجود ندارد. اهمیت این درس آنجا مشخص می شود که در تمامی آزمون های رشته های ریاضی نظیر آزمون کارشناسی ارشد، آزمون دکتری، آزمون های استخدامی و دیگر آزمون ها پایه ثابت است.

چارچوب تدریس

این درس با معرفی عمل دوتایی روی یک مجموعه آغاز شده است؛ یعنی عملی که به هر دو عضو مجموعه عضوی دیگر از مجموعه را نسبت می دهد. در حقیقت معرفی ساختار های جبری نظیر گروه، نیم گروه و غیره نیازمند عمل دوتایی هستند. بعد از معرفی این ویژگی با اضافه کردن ویژگی های مفید دیگر ساختار نیم گروه و گروه که مبحث اصلی این درس است معرفی می شود. به جرأت می توان گفت همه گروه هایی که در آزمون های مهم مورد سوال قرار می گیرند در این مجموعه ویدیوها معرفی می شوند و جزئیات بررسی گروه بودن به طور کامل انجام می شود و دانش پذیر به این توانایی دست یابد که بطور مستقل و به راحتی هرچه تمام تر بررسی گروه بودن را انجام دهد. از گروههای ساده نظیر گروه اعداد صحیح با عمل جمع گرفته تا گروه های پرکاربردی نظیر گروه های جایگشتی ، گروه کوترنیون ها ، گروه ماتریس های معکوس پذیر با عمل ضرب ماتریسی، گروه تقارن های یک چند ضلعی منتظم و سایر گروهها همگی به شکلی کاملا مبسوط تشریح شده اند. پس از تسلط بر شناخت گروه ها و آشنایی با گروههای مهم، مفهوم هایی نظیر زیرگروه معرفی شده اند و محک لازم جهت شناسایی زیر گروه ها ارائه شده است. گروه های خاص نظیر گروه های دوری با قضایای مربوط و نکات و ویژگی های آنها به همراه تست بررسی شده اند و مفاهیمی نظیر مرتبه عضو و مرتبه گروه و قضایای بنیادین مرتبط با آنها  نظیر قضیه لاگرانژ با توضیح و معرفی کابردهای آنها در حل مسایل و تست ها مورد بحث و تشریح قرار گرفته اند.

یافتن مرتبه اعضا در گروههای مختلف علی الخصوص گروه های جایگشتی که اهمیت بسزایی دارند و مفاهیمی وابسته به گروه های جایگشتی  نظیر جایگشت های زوج و فرد، دور ها ، تجزیه جایگشت ها و غیره در جلسات اختصاصی مورد تشریح قرار گرفته اند. اکنون که دانشجو به درک درست و دقیقی از مفهوم گروه رسیده نوبت آن رسیده که گروه های جدیدی معرفی شوند که به گروه های خارج قسمتی موسوم اند. معرفی این گروه ها نیازمند آشنایی با مفهوم جدیدی است که با خاص کردن زیرگروه دسته جدیدی از زیرگروه ها را معرفی می کند که  همان زیرگروه های نرمال هستند. بنابر اهمیت شناخت زیرگروه های نرمال محک ها و شرایط کافی برای نرمال بودن یک زیرگروه معرفی می شوند که به کمک آنها تشخیص نرمال بودن زیرگروه ها به آسانی انجام می شود. این زیرگروه ها ویژگی های جالبی دارند که به کمک آنها گروه های خارج قسمتی تعریف می شود در واقع هر همدسته راست در این زیرگروه ها یک همدسته چپ هم هست و این راه را برای تعریف گروه های خارج قسمتی که عمل گروه را از عمل گروه اصلی وام می گیرد هموار می کند.

در ادامه مباحث همان گونه که انتظار می رود باید ملاکی برای سنجش میزان نزدیکی و شباهت گروه های مختلف وجود داشته باشد. این کار به عهده همومورفیسم ها هست که پلی بین دو گروه ایجاد می کند و ویژگی های مختلفی را حفظ می کند ویژگی هایی نظیر زیر گروه بودن. به دیگر بیان هر زیر گروه در گروه دامنه توسط یک همومورفیسم به یک زیرگروه از گروه هم دامنه نگاشت می شود.

این همومورفیسم ها هر چقدر خاص تر باشند نشان دهنده ارتباط قوی تر گروه هایی است که به هم پیوند زده است. در حالت خاص اگر این همومورفیسم ها یک به یک و پوشا باشند که در این صورت می توان گفت آن دو گروه یکی هستند و فقط اسم اعضایشان مثل هم نیست.

در ادامه این مباحث تکمیل می شود و به بررسی تعداد همومورفیسم ها از یک گروه به گروه دیگر پرداخته می شود که سهم بسزایی در تست های آزمون های اخیر جبر را داشته و دارند. اتومورفیسم ها معرفی می شوند و نکاتی هم در مورد گروه اتومورفیسم های یک گروه بیان می شود. گروه خودریختی های داخلی دیگر گروه مهمی هست که تعریف و بیان ویژگی های آن در ویدیو های آموزشی موجود است. قضیه معروف کیلی هم در این قسمت بیان می شود این قضیه نشان می دهد هر گروه با زیرگروهی از گروه جایگشتی یکریخت است.

اگر چند گروه داشته باشیم می توان به کمک آنها گروه جدیدی ساخت که گروه حاصلضرب خارجی گروه ها نام دارد. در حقیقت روی حاصلضرب دکارتی این گروه ها می توان یک عمل کاملاً طبیعی و مورد انتظار تعریف کرد که به حاصلضرب دکارتی آنها ویژگی گروه بودن می بخشد. نکات و مثال های این موضوع هم به طور کامل گفته می شود و اینکه کدام یک از ویژگی ها را از گروه های اولیه به ارث می برد یا اینکه دانستن ویژگی خاصی از گروه حاصلضرب خارجی این ویژگی را به گروه های اولیه تحمیل می کند یا خیر.

پیام موسسه

درس جبر (مبانی جبر) از نظر موسسه راهبرد و مدرس آن اهمیت ویژه ای دارد و این درس با وسواس تمام با تکیه بر آموزش مفهومی مطالب برای علاقه مندان تدریس شده است.

موسسه راهبرد این اطمینان را به دانشپذیران خود می دهد که با مطالعه دقیق این ویدیو های آموزشی درکی کامل و جامع از درس جبر را بدست خواهند آورد و دانشپذیر ما پس از مشاهده دقیق این ویدیوها برای فهم کامل سرفصل های درس جبر دیگر نیازمند هیچ کتابی نخواهد بود.