آموزش درس مبانی (علوم) ریاضی

مدرس:دکتر علی اصغر فرخی

آقای فرخی فارغ ‌التحصیل مقطع دکتری ریاضی محض گرایش جبر جابجایی کوهمولوژی هستند. ایشون دارای دو مدرک کارشناسی ارشد در گرایش جبر و همچنین ریاضیات مالی هستند و در مقاطع مختلف همواره جزو رتبه های برتر و دانشجوی برگزیده بوده اند. آقای دکتر فرخی علاوه بر تدریس در دانشگاه به عنوان معلم رسمی هم افتخار خدمت به دانش‌ آموزان این مرز و بوم رو دارند. زمینه اصلی فعالیت دکتر فرخی گرایش جبر بوده که  چندین مقاله در ژورنالهای بین المللی از ایشون به چاپ رسیده و هم اکنون در زمینه ریاضیات مالی مشغول تحقیق و پژوهش هستند. ایشون در کنار زیباییهای ریاضیات در زمینه شعر و ادبیات هم دستی بر آتش دارند و عرفان مولوی جزو علاقه مندی های آقای دکتر فرخی هست.

مقدمه مدرس

مبانی ریاضی همان گونه که از اسمش پیداست درسی بنیادین برای مطالعه دروس پیشرفته تر ریاضی است. بدون درک درست و تسلط بر این درس امکان پیشرفت در رشته های ریاضی اعم از  کاربردی و محض و علوم کامپیوتر امکان پذیر نیست. دانشپذیر در این درس مفاهیم مقدماتی نظیر مجموعه ها ، توابع ، مجموعه های شمارا و ناشمارا، اعداد اصلی و حساب آنها، رابطه های هم ارزی و ترتیب، و غیره را فرا می گیرد؛ با منطق ریاضی آشنا می شود که شامل روش هایی است برای استدلال کردن و بطور کلی تمییز دادن استدلال های نادرست از استدلال های درست.

اهمیت بسیار بالای این درس سبب شده که در رشته های دانشگاهی نظیر ریاضی و علوم کامپیوتر این درس در ترم اول کارشناسی به دانشجویان تدریس شود. در واقع بر همگان روشن شده که فراگرفتن دروس آنالیز، جبر، جبرخطی و غیره بدون درک درستی از مبانی ریاضی امکان پذیر نیست. از طرف دیگر در سال های اخیر این درس در آزمون های کارشناسی ارشد و دکتری مورد سوال قرار می گیرد و چندین تست به این درس اختصاص داده شده است.

چارچوب تدریس

این درس با فصل منطق آغاز می شود که از اهمیت بسیاری برخوردار است. در آغاز درس، ترجیح مدرس بر این بوده که مفاهیم با حوصله بیان شوند. گزاره به عنوان آنچه در منطق مورد بررسی قرار می گیرد معرفی می شود. (گزاره ها جمله های خبری هستند که داری ارزش درستی یا نادرستی هستند اما نه هر دو به طور همزمان).

مثالهایی از گزاره ها و غیر گزاره ها ارایه می شود که دانشپذیران از همان ابتدا بدون هیچ ابهامی یادگیری درس را شروع کنند. سپس جدول ارزش گزاره ها شرح داده می شود و مفاهیمی مانند نقیض یک گزاره معرفی می شود.  می توان چند گزاره را با هم ترکیب کرد و گزاره های جدیدی ساخت. ترکیب عطفی دو گزاره، ترکیب فصلی، گزاره های شرطی و دو شرطی از مهم ترین این گزاره ها هستند.

گزاره هایی که به ازای تمام حالات منطقی درای یک ارزش باشند را گزاره های هم ارز می گوییم. این مطلب در قالب مثال های زیادی توضیح داده می شود و روش های نشان دادن هم ارز بودن دو گزاره با ابزارهای مقدماتی و استفاده از تعریف تشریح می شود به گونه ای که اگر از دانشپذیر سوال شد که دو گزاره زیر هم ارز هستند یا خیر دانشپذیر نقشة ذهنی برای پاسخ دادن به این مسأله را داشته باشد. در ادامه درس مفاهیم راستگو، استلزام با ارائه مثال ها و توضیح به دانشجویان آموخته می شود. اکنون که ابزار کافی برای اثبات قضایای مفید و کاربردی را داریم قضایایی نظیر قانون جمع، قانون اختصار و قانون رفع مؤلفه، بیان و اثبات می شود. آنچه برای مدرس این درس اهمیت دارد این است که دانشجویان از همین ابتدا توانایی اثبات و ارائة برهان برای حل مسائل و قضایا را داشته باشند و به همین دلیل توضیحات به گونه ای است که دانشجو به راحتی بتواند قضایا و مسائل این درس را اثبات کند.

با رویکرد منطقی و حساب شده و تسلط بر درس اثبات قضایایی نظیر نفی مضاعف، قوانین جابجایی و خودتوانی، عکس نقیض، قوانین دمورگان، تعدی، شرکتپذیری، پخشپذیری، ذوالوجهین موجب و منفی، قیاس استثنائی و دفع، برهان خلف و غیره برای دانشپذیران بسیار راحت و جذاب خواهد بود. قوانین و قضایای یاد شده نقش مهمی در ارائه استدلال استنتاجی دارند بنابراین تسلط بر جزئیات و برهان آنها قطعاً در پیشرفت در ریاضی مؤثر خواهد بود.

در ادامه مفهوم تناقض مطرح می شود و جدول ارزش آن، بیان و مثال هایی در این زمینه حل می شود. استدلال قیاسی با حل مثال هایی متعدد توضیح و تفسیر می شود که دانش پذیر طرز استفاده از آموخته های قبلی و قضایای اثبات شده که در بالا به آنها اشاره شد را به درستی فرا بگیرد.

دیگر مفهوم اساسی در این قسمت سور ها هستند. سورهای عمومی و سورهای وجود و نقیض آنها مفاهیمی هستند که به کرّات مورد استفاده قرار می گیرند. بنابراین این مفاهیم بطوری درخور اهمیت آنها تدریس می شوند.

یکی دیگر از روش های پرکاربرد در استدلال ریاضی استدلال استقرایی است که در اینجا به طور دقیق تر این مفهوم مطرح و مثال هایی در این زمینه حل می شود.

همه دانشجویان در دبیرستان با مفهوم مجموعه آشنا هستند و در این بخش از دوره، مجموعه و مفاهیم وابسته به آن به طور دقیق بیان می شود؛ مفاهیمی نظیر، زیرمجموعه، اجتماع دو مجموعه، اشتراک دو مجموعه، تفاضل، متمم و غیره. قضایای مربوط به این قسمت از قبیل قانون های خودتوانی، قانون جابجایی، پخشپذیری، توزیعپذیری، شرکتپذیری، دمورگان، یکه ها و بقیه قضاضا بیان و به طور دقیق اثبات می شوند. مفهوم خانواده بیان می شود و در مورد اندیس گذاری آنها توضیحات کافی مطرح می شود. در انتهای این قسمت تعمیم قانون پخشپذیری و پارادوکس راسل بیان می شود و مشخص می شود که مجموعه همه مجموعه ها وجود ندارد!

اکنون آماده ایم که یکی دیگر از مفاهیم بنیادین یعنی رابطه ها را معرفی کنیم. نخست ضرب دکارتی مجموعه ها معرفی می شود و قضایایی مربوط به آنها اثبات می شود. سپس رابطه تعریف می شود و ویژگی ها و نکات آنها بطور کامل برشمرده می شود. یکی از مهم ترین رابطه ها یعنی رابطة هم ارزی معرفی می شود و چندین قضیه در اینباره بیان و برهان آنها ارائه می شود. افراز یک مجموعه تعریف می شود و قضیه ای بسیار مهم که افراز را به رابطة هم ارزی ربط می دهد بیان و اثبات می شود . در واقع درمیابیم که هر رابطة هم ارزی روی یک مجموعه، یک افراز از آن را به ما می دهد و برعکس می توان برای هر افراز یک رابطة هم ارزی نوشت که رده های هم ارزی آن رابطه دقیقاً برابر آن افراز شود.

نوع خاصی از رابطه را تابع می گوییم که دانشجویان با این مفهوم از قبل آشنایی دارند اما اینجا بار دیگر به طور دقیق تر مفهموم تابع شرح داده می شود و قوانین و قضایای آن گفته می شود. تابع وارون ، ترکیب توابع، توابع یک به یک و توابع پوشا هم به طور کامل با ذکر ویژگی ها شرح داده می شوند.

در ادامه به مبحث مهم و جدید مجموعه های متناهی و نامتناهی می رسیم. تعریفی از مجموعه های نامتناهی ارائه می شود و بنابراین از این منظر مجموعه ها را به دسته متناهی و نامتناهی تقسیم می کنیم. در ادامه روشن می شود که مجموعه های نامتناهی را میتوان به دو دستة دیگر تقسیم کرد؛ مجموعه های شمارای نامتناهی و ناشمارا. مجموعه های شمارای نامتناهی مجموعه هایی هستند که می توان اعضای آنها را به شکل یک دنباله نشان داد به دیگر بیان، یک تناظر یک به یک بین اعضای آن مجموعه و اعداد طبیعی برقرار است. چندین قضیة کاربردی برای شناخت چنین مجموعه هایی بیان و اثبات می شود. نشان داده می شود که مجموعه هایی وجود دارند که نمی توان اعضای آنها رابه شکل یک دنباله نوشت؛ چنین مجموعه هایی را مجموعه های ناشمارا می نامیم. مثال هایی از هر دو دسته بیان می شود و به دانشپذیران درک درستی از این مفاهیم داده می شود.

در ادامه مفهوم اعداد اصلی معرفی می شود و قضایایی در مورد حساب این اعداد گفته می شود. همة ما درک درستی از جمع و تفریق و بقیه اعمال جبری در اعداد حقیقی داریم. اینک می خواهیم چنین اعمالی را هم برای اعدادی نظیر الف صفر (عدد مجموعه های شمارای نامتناهی) و غیره انجام دهیم، بدون اینکه خللی به آنچه می دانستیم وارد شود. قضایای مهمی در این زمینه نظیر قضیه شرودر-برنشتاین و قضیه کانتور بیان و اثبات می شود.  در ادامه  مفهوم حساب اعداد اصلی با ارائه مثال های گوناگون و متعدد برای دانشپذیران روشن تر می شود.

در قسمت انتهایی درس مفاهیم دیگری نظیر اصل انتخاب و صورت های معادل آن مطرح می شود. رابطه ترتیب معرفی می شود و با ارائه مثال های مختلف این مفهوم در ذهن دانشجویان تثبیت می شود. اصل ماکسیمال هاسدروف و لم تسورن (زرن) که بسیار کاربردی هستند با وسواس خاصی تدریس می شود که دانشجو بتواند در مواقع لزوم از آنها استفاده کند. اصل مهم دیگری موسوم به اصل خوشترتیبی را تعریف می کنیم و مطالب مربوط به آن تشریح می شود.

و توضیح آخر اینکه در انتهای هر فصل تست های مربوط به آن فصل از آزمون های مختلف  برای دانشپذیران حل و تشریح می شود.

پیام مؤسسه

مجموعه راهبرد مفتخر است که با ارائة یکی از بنیادی ترین دروس رشته های ریاضی و علوم کامپیوتر در خدمت دانشپذیران عزیز باشد. مؤسسه و مدرس تمام وسواس خود را به کار گرفته اند که این درس به شکلی ارایه شود که دانشپذیران مفاهیم را به خوبی فرا گرفته و بتوانند قوة استدلال و خلاقیت خود را پرورش دهند. متأسفانه بسیاری از دانشجویان با اینکه تلاش بسیاری را به کار می گیرند اما توفیق چندانی در حل مسائل جدید و ارائة برهان برای قضایا و نکات نداشته اند و به همین دلیل مؤسسه راهبرد و مدرس این درس بسیار کوشیده اند که اول قدم در راه تحصیل رشته های فوق طوری برداشته شود که دانشجویان گرامی دارای انعطاف و قدرت استدلال در حل مسائل و قضایا باشند.

مؤسسه راهبرد به دانشپذیر این اطمینان را می دهد که مفاهیم مبانی ریاضی به طور کامل گفته شده و بدون نیاز به هیچ منبع دیگری می تواند این درس را در بالاترین کیفیت ممکن فرا گیرد.