آموزش درس ریاضی 2

مدرس:دکتر علی اصغر فرخی

آقای فرخی فارغ ‌التحصیل مقطع دکتری ریاضی محض گرایش جبر جابجایی کوهمولوژی هستند. ایشون دارای دو مدرک کارشناسی ارشد در گرایش جبر و همچنین ریاضیات مالی هستند. دکتر فرخی در مقاطع مختلف همواره جزو رتبه های برتر و دانشجوی برگزیده بوده اند.

آقای دکتر فرخی علاوه بر تدریس در دانشگاه به عنوان معلم رسمی هم افتخار خدمت به دانش‌ آموزان این مرز و بوم رو دارند. زمینه اصلی فعالیت دکتر فرخی گرایش جبر بوده که  چندین مقاله در ژورنالهای بین المللی از ایشون به چاپ رسیده و هم اکنون در زمینه ریاضیات مالی مشغول تحقیق و پژوهش هستند.

____________________

 مقدمه مدرس

درس ریاضی عمومی درسی نام آشنا برای اکثر رشته های دانشگاهی است و تمام رشته های فنی مهندسی و علوم پایه و تعدادی از رشته های علوم انسانی از این درس به عنوان همراهی قوی و نیرومند در پیش بردن و ارائه ایده ها استفاده می کنند. این درس شاید مصداق شعار اصلی سال جهانی ریاضیات (سال دوهزار) است، شعاری با مضمون ریاضیات برای همه، ریاضیات راه توسعه. از این رو این قسمت از ریاضی که تحت عنوان ریاضی عمومی یک و دو به دانشجویان تدریس می شود اهمیتی دو چندان پیدا می کند و زبانی است مشترک بین همه رشته هاست.

پس از درک و یادگیری درس مهم ریاضی یک، لازم است ایده ها و تعاریف موجود برای دسته دیگری از توابع که به توابع چند متغیره موسوم هستند تعمیم داده می شوند. از آنجا که بسیاری از توابعی که با آنها سرو کار داریم عموماً به چند پارامتر (متغیرهای مستقل) وابسته هستند، نیاز به این مفاهیم دو چندان می شود. بنابراین درسی دیگر از جنس ریاضی عمومی مورد نیاز است و این درس چیزی نیست جز ریاضی عمومی دو.

در آموزش درس ریاضی دو علاوه بر مفاهیم اولیه که در قسمت های نخستین درس ارائه شده است، تمام انتگرال های مختلف بیان شده و بدون اغراق می توان گفت کامل ترین مجموعه برای مطالعه و یادگیری انواع مختلف انتگرال است.

چارچوب تدریس

درس ریاضیات عمومی2 با تعریف توابع چند متغیره آغاز می شود و با هدف تعمیم  حساب دیفرانسیل و انتگرال برای این دسته از توابع. مفهوم صفحه و خط در فضای سه بعدی با معرفی بردار هادی و بردار نرمال گفته می شود و معادلات آنها بررسی می شوند و مثال هایی هم در این زمینه بیان می شود. در این درس مفاهیمی نظیر همسایگی، حد، مشتق، انتگرال و سایر مفاهیم برای توابع دارای دو متغییر یا بیشتر متناسب با آنها تعریف می شوند . یکبار دیگر مفاهیم ریاضی عمومی یک یادآوری می شوند و تعاریف جدید برای توابع چند متغیره در کنار آنها ارائه می شوند که دانشپذیر درک دقیق تری از آنها داشته باشد.  با معرفی تعریف همسایگی برای این توابع  همسایگی ها از یک بازة باز حول یک نقطه به یک دایره، کره و غیره تغییر می کنند. برای تعریف حد دیگر تعریف حد چپ و راست اینجا بی معنی به نظر می رسد، چرا که دامنة تعریف این توابع دیگر قسمتی از خط حقیقی نیست بلکه قسمتی از صفحه، فضا و یا ابعاد بالاتر است. اینجا دیگر حالت های نزدیک شدن به یک نقطه (میل کردن) فقط از طریق سمت چپ آن نقطه یا راست آن نیست بلکه بی نهایت راه برای نزدیک شدن به یک نقطه وجود دارد. بنابراین همانطور که در درس ریاضی یک یاد گرفتیم یک تابع معمولی (تک متغیره) زمانی در یک نقطه حد داشت که حد راست و چپ آن باهم مساوی بودند. اینجا وجود حد یک تابع چند متغیره در یک نقطه  ملزم به این است که از هر طریق که به آن نقطه نزدیک شویم یک مقدار حد بدست آوریم. نکته بالا ابزاری نیرومند در اختیار ما قرار می دهد که عدم وجود حد را برای توابع نشان دهیم. بدین منظور کافی است نشان دهیم که از از دو مسیر متفاوت دو مقدار متفاوت برای حد در یک نقطه بدست می آید و این یعنی حد در آن نقطه نمی تواند وجود داشته باشد. این نکات بطور مفصل گفته می شوند و تست ها و مثال هایی مرتبط بطور کامل تحلیل می شوند.  پس از  معرفی حد برای توابع چند متغیره و ارائه مثال ها و تست ها  و با داشتن ابزار لازم نوبت به مفهوم پیوستگی می رسد. مفهوم مهم پیوستگی که همیشه سهم ثابتی در آزمون ها دارد با اهمیتی در خور آن بیان می شود و مثال ها یادگیری را دقیق تر و با کیفیت تر می کنند.

پس از معرفی توابع چند متغیره و بررسی مفاهیم حد و پیوستگی آنها نوبت به معرفی دستة دیگری از توابع می رسد. این دسته از توابع دامنه ای یک بعدی دارند اما برد آنها چند بعدی است، آنها را توابع برداری می نامند. برای این دسته از توابع بردار یکه (برداری که اندازه آن یک است) مماس و بردار یکه قائم اول (بردار قائم بر منحنی در یک نقطه که در صفحه شامل آن نقطه است) و بردار قائم دوم بررسی می شوند و با ارائة مثال های مختلف فرایند آموزش تکمیل می شود. دیگر مفهوم مهم برای این دسته از توابع مفهوم انحنا هست که همواره در تست های آزمون های مهم مورد سوال قرار می گیرد. این مفهوم با جزئیات کامل بیان می شود و فرمول های یافتن آن ارائه می شوند. حالا که انحنا را معرفی کردیم نوبت به محاسبة دایره بوسان می رسد. پس از تعریف این دایره مثال ها و نکات مرتبط با آن گفته می شود.

مفهوم مشتق برای توابع یک متغیره در درس ریاضی یک با تمام جزئیات آن مورد بررسی قرار گرفت. در درس ریاضی دو مفهوم تعمیم یافتة آن به مشتق جزئی موسوم است. این شکل از مشتق وقتی نسبت به متغیر خاصی محاسبه می شود دیگر متغیرها ثابت در نظر گرفته می شوند و فقط آن متغیر تغییر می کند. مشتق توابع مرکب، مشتق توابع ضمنی و دیگر جزئیات این قسمت از درس به طور کامل بیان و تشریح می شود. مفهوم  دیفرانسیل که برای توابع معمولی در درس ریاضی یک گفته شد اینجا هم با عنوان دیفرانسیل کامل موجود هست. فرمول آن تعمیم فرمول دیفرانسیل معمولی است و دانشپذیر می تواند با کمی دقت فرمول آن را حدس بزند.

نوعی دیگر از مفاهیم وابسته به مشتق ، مشتق جهتی است که معنای آن محاسبه مشتق یک تابع چند متغیره در یک نقطه است وقتی که در راستای یک بردار خاص به آن نقطه نزدیک می شویم. این نوع مشتق ما را به سمت معرفی یک مفهوم مهم دیگر در حسابان چند متغیره رهنمون می کند که گرادیان نام دارد.

این مفهوم با توجه به اهمیت و کاربردهای فراوان آن به طور وسواس گونه ای معرفی می شود و مثال های مهمی از کاربردهای آن از جمله یافتن صفحه مماس بر تابع در یک نقطه و یا خط عمود بیان می شود.

مفهوم میدان برداری تعریف می شود و مفاهیم وابسته به آن نظیر کرل و دیورژانس توضیح داده می شوند.

بسط تیلور را در ریاضی یک برای توابع یک متغیره فرا گرفتیم. اکنون نوبت به تعمیم این ایده برای توابع چند متغیره می رسد. فرمول یافتن بسط تیلور برای این دسته از توابع ارائه می شود و با ذکر مثال این مبحث بطور دقیق و مفهومی به دانشپذیران انتقال داده می شود.

سوال طبیعی که در ذهن به وجود می آید این است که آیا راهی برای یافتن نقاط ماکسیم و مینیمم ( اکسترمم) برای توابع چند متغیره هم وجود دارد؟ پاسخ مثبت است! و در ادامه به نحوة یافتن چنین نقاطی پرداخته می شود.

در ریاضی یک مفهوم انتگرال و اهمیت آن و کاربردهای فراوان آن گفته شد. اکنون این مفهوم را برای توابع چند متغیره تعریف می کنیم و قوانین آنها گفته می شود. قضایایی بیان می شود که نشان می دهند زمانی که تابع چند متغیره در دامنة مورد نظر برای انتگرال گیری پیوسته باشد می توان به جای محاسبه انتگرال دوگانه یا سه گانه (که عموماً با آنها در این درس سروکار داریم) که تعریف شدند از انتگرال مکرر استفاده کرد و بدین ترتیب انتگرال گیری برای این دسته از توابع راحت تر می شود.

قوانین مهمی همچون تغییر ترتیب  با حوصله و دقت زیاد گفته می شود و تست های زیادی در این زمینه بررسی می شود. تغییر متغیر به عنوان ابزاری کارآمد در محاسبه این دسته از انتگرال ها به طور کامل بررسی می شود و تغییر متغیرهای مهمی نظیر تغییر متغیر قطبی، تغییر متغیر استوانه ای و تغییر متغیر کروی به طور دقیق و با کیفیت همراه با حل تست مورد بررسی قرار می گیرند.

کاربردهای این نوع از انتگرال گیریها نظیر محاسبة حجم محصور و یا محاسبه مساحت با بررسی تست های از آزمون های ارشد بیان می شود.

در ادامه مفهوم انتگرال گیری روی خم تعریف می شود و روش محاسبه آن به طور مفصل شرح داده می شود و مثال هایی متنوع در این زمینه حل می شود. سپس این نوع انتگرال گیری برای توابع برداری با عنوان انتگرال گیری روی خم یک تابع برداری معرفی می شود و فرایند آموزش به روش آشنای قبلی تکرار می شود.

توابع پایستار تعریف می شوند و روش تشخیص این نوع تابع ها توضیح و تشریح می شود و از این مطلب که انتگرال گیری از این نوع توابع مستقل از مسیر است برای حل تست ها و مسائل استفاده و نکات آن را گوشزد می کنیم.

قضیه مهم و پرکاربرد گرین برای محاسبة انتگرال روی خم ساده بسته بیان می شود و در عمل استفاده از آن برای حل مسائل و تستها صورت می گیرد و دانشپذیران نحوه و شرایط استفاده از این قضیه را به خوبی فرا خواهند گرفت.

اکنون نوبت به تعریف انتگرال روی سطح می رسد. این مفهوم به طور دقیق و مفهومی برای توابع چند متغیره ارائه می شود و روش محاسبة آن با حل تست ها و مثال های متنوع به دانشپذیر آموخته می شود. مشابه انتگرال روی خم که پس از تعریف آن برای توابع چند متغیره به توابع برداری هم تعمیم داده شد، اینک مفهوم انتگرال روی سطح هم برای توابع برداری هم تعریف و تعمیم داده می شود.

قضیة مهم و کاربردی دیورژانس به طور دقیق بیان و کاربردهای آن معرفی می شوند و نشان داده می شود که در برخی موارد که شرایط استفاده از قضیه فراهم است چقدر محاسبات را راحتتر می کند. برای درک بهتر موضوع چندین تست و مثال مورد بررسی قرار می گیرند.

در انتها یکی دیگر از قضایای مفید و پرکاربرد حسابان برداری یعنی قضیه استوکس بیان می شود و شرایط استفاده از  آن بطور کامل و مبسوط شرح داده می شود. در کنار معرفی این قضیه چندین تست از آزمون های مختلف برای درک بهتر این قضیه مهم ارائه داده شده است.

پیام موسسه

موسسه راهبرد افتخار این را دارد که این درس را به بهترین شکل ممکن در قالب ویدیو های آموزشی با کیفیت در اختیار دانشجویان قرار دهد. و مدرس این درس  تمام تلاش خود را به کار بسته است که معانی و مفاهیم بطور کامل منتقل شود و از حفظ بی دلیل فرمول ها و ارائة یک ریاضیات خشک پرهیز شود و محتوایی درخور و متناسب با درس معظم ریاضی دو در اختیار دانشپذیران عزیز قرار بگیرد.